1. 塞瓦定理
塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点， AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/BF)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
2. 塞瓦定理证明
该定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
塞西是意大利水利工程师，数学家。塞西定理载于塞西于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞西定理是塞瓦重大发现。塞西定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一。
3. 塞瓦定理如何证明
应该是塞瓦定理。是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。
塞瓦定理记忆方法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为一。
4. 塞瓦定理逆定理证明
可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明：
∵△ADC被直线BOE所截，
∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①
∵△ABD被直线COF所截，
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
②/①约分得：
(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
（Ⅱ）也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
5. 塞瓦定理逆定理
不成立。
已知：O是⊙O的圆心,A、B在圆上,OA⊥AP,OB⊥BP
求证：PA=PB,∠APO=∠BPO
上面就是“切线长定理”,当然是成立的.
但它的逆命题并不成立,也就无法证明.只能举反例.
事实上, 符合“O是⊙O的圆心,A、B在圆上,PA=PB,∠APO=∠BPO”这个条件的A、B点有无数个.
如图可见：A1、B1是一对满足条件的点,A2、B2是另外一对.有无数对这样的点.
只要在直线OP上的⊙O内的部分（⊙O的直径）上任意取点M,过M作OP的垂线L,直线L交⊙O于A、B,连接OA、OB、PA、PB,就一定有PA＝PB,∠APO＝∠BPO,显然这样的点A、B有无数对,其中只有一对能满足OA⊥AP,OB⊥BP （图中的A、B）
6. 塞瓦定理 女神异闻录
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上,则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 .
塞瓦定理：在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
本题可利用梅涅劳斯定理证明：
∵△ADC被直线BOE所截,
∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1
而由△ABD被直线COF所截,
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1
7. 塞瓦定理和梅涅劳斯定理的区别
证法1 平行线法
证法2 共边定理法
证法3 共角定理法