1. 阿波罗尼斯圆
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。
2. 阿波罗尼斯圆的二级结论
①若m=n，则结论就是线段AB的垂直平分线；
②若n≠m，设|AB|=L，以AB为x轴建立坐标系， 设A=(-Ln/(m+n),0)，B=(Lm/(m+n)，0)，P=(x,y)， PA/PB=n/m → (m*PA)^2=(n*PB)^2 → (m^2)【[x+Ln/(m+n)]^2+y^2】=(n^2)【[x-Lm/(m+n)]^2+y^2】 → x^2+y^2=[2mnL/(n^2-m^2)]x. 这就是【阿波罗尼斯圆】。 也可以用几何方法求轨迹，但需要用到内角平分线性质和外角平分线性质。
3. 阿波罗尼斯圆在高考中的应用
初中学的，阿氏圆定理介绍 全称：阿波罗尼斯圆定理 定义：一动点 P 到两定点 A、B 的距离之比等于定比 m：n（m≠n） ，则 P 点的 轨迹，是以定比 m：n 内分和外分定线段 AB 的两个分点的连线为直径的圆。该 圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。
作法：在线段 AB 上取一点（不妨 AC>BC） ，以 AC/BC=k 的比值在 AB 延长线 上再找一点 D，使得 AD/BD=k，以 CD 为直径画圆，圆上任意一点 P，都能满足 PA/PB=k，其中点 C 为内分点，点 D 为外分点。 证明： 设A （a， 0） ， B （0， 0）
4. 阿波罗尼斯圆的定义
设M，N是平面上两个定点，则满足|PM|=k|PN|（k>0，k≠1）的点的轨迹是一个圆，通常称之为阿波罗尼斯圆，其中k为比例常数，此圆的圆心在直线MN上.随之产生一个问题，对于任意一个圆和常数k（k≠1），如何寻找两定点M，N，使圆上任意一点P满足阿氏圆的定义|PM|=k|PN|（k≠1）
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”。
5. 阿波罗尼斯圆的几何证明
简单谈一下它们是什么，在高中是否有用：
1阿波罗尼斯圆即圆的第二定义，平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是一个圆，高中偶尔作为背景，会识别即可，方程自己设坐标就能算2特征根方程或不动点法用于求某些数列的通项，但是高考中不会出现（用待定系数法就可以了），模拟题中有一类an+1=Aan+B/Can+D偶尔出现需要用该方法3超越方程高中不可能让你解比如e^x=1/x.4洛必达法则求未定式极限，导数答题中分离参数后经常遇到0/0型极限，需要用该法则，可以学习一下，但高考会逐渐回避这个问题。
5泰勒公式，将函数用多项式近似替代，高考中常作为不等式出题背景，还可以估值，14年二卷估算ln2可以用它估。在高中只需记住几个最重要不等式的变形就可以了
6. 阿波罗尼斯圆定理性质
阿氏圆定理（阿波罗尼斯圆定理）：若一动点P 到两定点A,B之间的距离之比为定值k, 则点P的轨迹是以定比k内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆
平面内到两定点距离之和为定值得椭圆，之差为定值得双曲线，现在的之比为定值又得到了圆。所以说，将“阿氏圆定理”看作“圆的第二定义”
7. 阿波罗尼斯圆公式
高考中如果使用大学知识解题理论上会扣分，因为出题毕竟是出发点对当前自己所学的知识点的理解，至于延伸外的东西当然也需要适当的鼓励。我国自古以来讲究的是踏实稳重，而不是揠苗助长，所以高考中尽量用所学知识去答题，延伸之外的东西作为亮点可以适当的加一点就好。
8. 阿波罗尼斯圆结论
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=〔2λ／（λ^2-1）〕AB。
9. 阿波罗尼斯圆定理证明
阿波罗尼斯（Apollonius）圆，简称阿氏圆。 在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB。我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即： 设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系： b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。 （此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。
10. 阿波罗尼斯圆性质
阿氏圆是阿波罗尼斯圆的简称，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
应用：可知阿氏圆上任意一点Р到点A和点B的距离比都是定值k，那么在证明过程中可以用这个原理,就是说如果我们知道了圆上一点到直径上两定点的距离比，那么就可以知道圆上另一点到两定点的距离比。