几何图形的定律，各种几何图形定理

三角形：1、三角形的内角和180°. 2、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和. 3、三角形的任意两边之和都大于第三边 4、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 5、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6、30°角所对的直角边是斜边的一半。 平行四边形：1、平行四边形对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线相互平分。 2、长方形对边平行且相等，四个角都是90°，对角线相等且相互平分。 3、菱形四边都相等，对角相等，邻角互补，对角线相互垂直平分，且平分一组对角 4、正方形四边相等，四个角都是直角，对角线相等且相互垂直平分。

立体几何 1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念； 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些？ ④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： ①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形； ②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法? 平面向量 1．基本概念： 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2． 加法与减法的代数运算： (1) ． (2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = － 且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜． 向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律); +( +c)=( + )+c （结合律）; +0= ＋(－ )=0. 3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。 (1)｜ ｜=｜ ｜·｜ ｜; (2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时， 与 的方向相反；当 =0时， =0． (3)若 =（ ），则 · =（ ）． 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ． (2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ． 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2． 4．P分有向线段 所成的比： 设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。 当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0； 分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ． 5． 向量的数量积： （1）．向量的夹角： 已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。 （2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ． 其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影． （3）．向量的数量积的性质： 若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=｜ ｜cos (e为单位向量); ⊥b ·b=0 （ ，b为非零向量）;｜ ｜= ; cos = = ． (4) ．向量的数量积的运算律： ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c． 6.主要思想与方法： 本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

长方形： 定理：一个内角是指教的平行四边形是矩形,即长方形性质：对角线相等且互相平分； 　　对边平行且相等 ；　　四个内角相等且都是直角；　　有2条对称轴；　　在没有数据的情况下，水平的一边为长，垂直与水平的那一边的一边为宽 　　长方形是特殊的平行四边形，因此长方形具有平行四边形所具有的一切性质 正方形： 定理：一组邻边相等是矩形是正方形 性质：两组对边分别平行； 四条边都相等； 相邻边互相垂直　　 内角：四个角都是90°；　　 对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；　　 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）菱形： 定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质：菱形的四条边相等； 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线互相平分一对对角 平行四边形： 定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 性质：平行四边形两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分 . 矩形不就是长方形吗？

正方形四条边都相等

初等平面几何 一 公理 1 任意不同的两点确定通过它们的一条直线。 2 设AB是给定的线段，OX是已知的射线，则在射线OX上有且只有一点C，使得线段OC=AB。 3 几何图形可以迁移位置而不改变其形状和大小。 4 平行公理：通过已知直线外一点至多可引一条直线和已知直线平行。 5 阿基米德公理：给定线段AB>CD, 当用后者去度量前者时，量了若干次后，总会超过前者，或者说，必定存在正整数n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd 二 轴对称和中心对称 1 轴对称：沿某条直线对折，在直线两旁的部分完全重合。这条直线叫对称轴，能重合在一起的点叫对称点。若这是一个图形，就叫轴对称图形。（如等腰三角形） 性质：对称点的中垂线即为对称轴。 2 中心对称：两个图形绕某中心旋转180°能彼此重合。该点叫对称中心，能重合的点叫对称点。若这是一个图形，就叫中心对称图形。（如平行四边形） 性质：对称点的中点即为对称中心。 三 基本概念 1 线段的中垂线和角的平分线 （1）中垂线的性质： 1°中垂线上任一点距线段两端等远 2°凡距线段两端等远的点都在中垂线上 （2）角平分线的性质： 1°角平分线上的任一点同角的两边等距 2°凡在角内同两边等距的点都在角平分线上 2视角 （1）线段的视角：自一点发出两条射线使分别通过一已知线段的两端，则这两条射线所成的角，叫做该点对已知线段的视角。 （2）点对圆的视角：自圆外一点向圆所引的两切线（视为射线），这两切线的夹角叫做该点对圆的视角。 三 全等三角形 1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大边边角) S.s.a: 两三角形若有两边及其中大边的对角对应相等，则它们必是全等的。 证：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均为大边，a=a1, b=b1,且A=A1，则sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互补，但若是互补，那么 max(B,B1)≥90°,这与b,b1是小边矛盾，所以B=B1. 注意：小边边角不成立。 2 全等直角三角形： （1）直角边，直角边（s.a.s） （2）斜边，直角边(S.s.a) （3）直角边，相邻或相对锐角(a.s.a, a.a.s) （4）斜边，锐角(a.a.s) 四 平行线 1存在定理：在一平面上，同垂直于一已知直线的两条直线互相平行。 2判定定理：两已知直线被第三条直线所截，若下列条件之一成立，则这两已知直线互相平行： 1°同位角相等 2°内错角相等 3°同旁内角互补 3性质定理：若两直线被第三条直线所截，则所成 1°同位角相等 2°内错角相等 3°同旁内角互补 推论：（1）若两条直线垂直于两条平行线之一，则也垂直于另一条。 （2）相交直线的垂线也相交。 4平行截割定理： （1）两条直线被一组平行线所截，如果在一条直线截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。 如果两条直线被一组截线各截出相等的线段，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理） （2）角平行截割定理：角的两边被平行线所截，如果在一边截得的线段相等，那么在另一边截得的线段也相等。 角平行截割定理逆定理：角的两边被一组截线各截出相等的线段，那么全组截线都是互相平行的。 （3）关于比例的平行截割定理： 1°两条直线被一条平行于第三边的直线所截，截得的线段必成比例。 2°如果两条直线被一组截线截出的线段成比例，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。 3°三角形的两边被一组平行线所截，截得的线段必成比例。 4°逆定理：如果三角形的两边被一条直线截得的线段成比例，那么这条直线平行于第三边。 （4）中位线定理 1°三角形任一中位线平行于第三边且等于该边的一半。 2°梯形的中位线平行于底边且等于两底和的一半。 五 图形 （一）三角形 1 外角定理：三角形的每个外角大于任一内对角。 2 等腰三角形：四线合一 3 三角形不等定理： （1）大边对大角，大角对大边 （2）三角形中，任一边小于其它两边之和而大于它们的差。 推论：对于任意三点A、B、C，总有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC （3）若两个三角形彼此有两边对应相等，则 1°夹角大的，对边较大 2°第三边大的，对角较大 4 五心 （1）外心：三边中垂线之交点，也是外接圆之圆心 （2）重心：三边中线之交点 （3）垂心：三边高线之交点（与三顶点构成垂心组） （4）内心：三内角平分线之交点，也是内切圆之圆心 （5）旁心：一内角与另外两内角之外角的三条角平分线之交点，共有3点，也是旁切圆之圆心 5 内、外角平分线定理：设三角形某角及其外角的平分线同对边及其延长线相交，则交点分别内分及外分对边，所得分比等于两邻边之比。（逆定理存在） 6 正三角形：PA≤PB+PC，当P位于其外接圆中A点所对的弧BC时取等号。 （二）平行四边形 1 定义：两双对边各互相平行的四边形。 2 性质定理： 1°两双对边各相等 2°两双对角各相等 3°两对角线各互相平分 3 判定定理：四边形若具有下列条件之一，则必是平行四边形 1°两双对边各相等 2°两双对角各相等 3°两对角线各互相平分 4°一双对边平行且相等 4 矩形：等角的平行四边形（两对角线相等，对边中点的连线为对称轴） 菱形：等边的平行四边形（两对角线互相平分，且对角线为对称轴） 正方形：既是矩形又是菱形的四边形（4条对称轴） （三）梯形 1 定义：有一双对边平行的四边形。 2 等腰梯形：两腰相等，两底角相等，对角线相等，以两底中点的连线为对称轴。 （四）多边形 1 内角和：（n-2）*180°,外角和：360° 2 正多边形：每条边、每个角都相等的多边形 （五） 圆 1 对称性：以圆心为对称中心，以任一条直径为对称轴。 2 不等定理：弧、弦、圆心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR 3 切线定理 （1）圆的切线垂直于过切点的半径 （2）经过圆半径外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线 （3）自圆外一点向圆所引的两切线等长，且自该点至圆心所引的射线平分该点对圆的视角 （4）公切线定理：两圆的两条外公切线等长，两条内公切线也等长 （5）两圆相切定理： 1°相切两圆的切点在连心线上，反之，两圆过连心线上同一点必然相切 2°两圆外切的充要条件是OO′= R+R′，内切的充要条件是OO′= ∣R-R′∣ 4 圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角 （在一圆中，同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半） 弦切角：一边和圆相交，另一边和圆相切于顶点的角 （圆的弦切角等于它包含的弧所对的圆周角） 圆内角：顶点在圆内的角 （圆的圆内角，等于它本身及其对顶角包含的弧所对的圆周角之和） 圆外角：顶点在圆外而两边和圆均有公共点的角 （圆的圆外角，等于它包含的两弧所对的圆周角之差） 总结：1°同弧所对的：圆内角>圆周角=弦切角>圆外角 2°如果一个角的两边和圆均有公共点而且等于圆周角，那么此角的顶点一定在圆上。 5 圆内接四边形：对角互补。（逆定理存在） 圆外切四边形：对边和相等。（逆定理存在） 6 圆幂定理：已知一圆O，通过一点P任作一割线交圆于A、B，则 p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,这个p′值，叫做P点对于圆O的幂。具体的说，点在圆外幂为正，点在圆内幂为负，点在圆上幂为0 7 四点共圆的判断： （1）对角互补的四边形 （2）两点对一线段等视角 （3）圆幂定理：PA*PB=PC*PD 六 相似三角形 1 基本定理：平行于三角形的一边而且和其它两边相交的直线，截得的三角形和原三角形相似。 2 判定定理：两个三角形若具有下列条件之一，则它们必是相似的： （1）两双对应角各相等（a.a） （2）一双对应角相等且其夹边成比例(a.s.a) （3）三双对应边成比例(s.s.s) （4）两双对应边成比例且其中大边的对角相等(S.s.a) 3 相似三角形任一双对应线段（如对应的高、中线、角平分线等）的比都等于相似比。 七 面积 S（平行四边形）=ah=absinα S（矩形）=ab S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2 S（正方形）=a2= (1/2)l2 S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC S（圆）=πR2 S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2 S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα） 贝利契纳德公式：S(四边形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2 卜拉美古嗒公式：S(圆内接四边形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s为半周) 海伦公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2 八 基本轨迹： 1 距离两个已知点等远的点的轨迹，是这两点间所连线段的中垂线。 2 在已知角内和两边等距的点的轨迹，是这个角的平分线。 3 同两条平行的已知直线等距的点的轨迹是一条直线，它和这两条已知直线平行，且同它们等距。 4 到一条已知直线距离为定长的点的轨迹，是在已知直线两侧并和它平行的一双直线，其中每一条到已知直线的距离都等于定长。 5 到一个定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的一个圆。 6 对于一定线段的视角等于定角的点的轨迹，是以定线段为弦的一双弓形弧。 7 对于一定线段的视角等于直角的点的轨迹，是以定线段为直径的一个圆。 九 特别概念 1 欧拉线：三角形的外心、重心、垂心共线 （重心到一边之距离等于对顶点到垂心距离之一半） 2 牛顿线：完全四边形三条对角线的中点共线 3 密克点：完全四边形各边交成四个三角形，它们的外接圆共点。 4 西摩松线： （1）某点在三角形三边或其延长线上的正射影共线的充要条件是某点在三角形的外接圆上。三正射影所在的直线叫做叫做某点对于三角形的西摩松线。 （2）完全四边形的密克点在四边上的正射影共线。这直线叫做完全四边形的西摩松线。既然都喜欢数学 就一起加油

初等平面几何 一 公理 1 任意不同的两点确定通过它们的一条直线。 2 设AB是给定的线段，OX是已知的射线，则在射线OX上有且只有一点C，使得线段OC=AB。 3 几何图形可以迁移位置而不改变其形状和大小。 4 平行公理：通过已知直线外一点至多可引一条直线和已知直线平行。 5 阿基米德公理：给定线段AB>CD, 当用后者去度量前者时，量了若干次后，总会超过前者，或者说，必定存在正整数n, 使得 (n-1)CD≤AB≤Ncd 二 轴对称和中心对称 1 轴对称：沿某条直线对折，在直线两旁的部分完全重合。这条直线叫对称轴，能重合在一起的点叫对称点。若这是一个图形，就叫轴对称图形。（如等腰三角形） 性质：对称点的中垂线即为对称轴。 2 中心对称：两个图形绕某中心旋转180°能彼此重合。该点叫对称中心，能重合的点叫对称点。若这是一个图形，就叫中心对称图形。（如平行四边形） 性质：对称点的中点即为对称中心。 三 基本概念 1 线段的中垂线和角的平分线 （1）中垂线的性质： 1°中垂线上任一点距线段两端等远 2°凡距线段两端等远的点都在中垂线上 （2）角平分线的性质： 1°角平分线上的任一点同角的两边等距 2°凡在角内同两边等距的点都在角平分线上 2视角 （1）线段的视角：自一点发出两条射线使分别通过一已知线段的两端，则这两条射线所成的角，叫做该点对已知线段的视角。 （2）点对圆的视角：自圆外一点向圆所引的两切线（视为射线），这两切线的夹角叫做该点对圆的视角。 三 全等三角形 1判定定理：s.a.s, a.s.a, a.a.s, S.s.a(大边边角) S.s.a: 两三角形若有两边及其中大边的对角对应相等，则它们必是全等的。 证：a/sinA = a1/sinA1, b/sinB = b1/sinB1, 若a,a1均为大边，a=a1, b=b1,且A=A1，则sinB=sinB1, 而B，B1∈（0，180°），故B，B1相等或互补，但若是互补，那么 max(B,B1)≥90°,这与b,b1是小边矛盾，所以B=B1. 注意：小边边角不成立。 2 全等直角三角形： （1）直角边，直角边（s.a.s） （2）斜边，直角边(S.s.a) （3）直角边，相邻或相对锐角(a.s.a, a.a.s) （4）斜边，锐角(a.a.s) 四 平行线 1存在定理：在一平面上，同垂直于一已知直线的两条直线互相平行。 2判定定理：两已知直线被第三条直线所截，若下列条件之一成立，则这两已知直线互相平行： 1°同位角相等 2°内错角相等 3°同旁内角互补 3性质定理：若两直线被第三条直线所截，则所成 1°同位角相等 2°内错角相等 3°同旁内角互补 推论：（1）若两条直线垂直于两条平行线之一，则也垂直于另一条。 （2）相交直线的垂线也相交。 4平行截割定理： （1）两条直线被一组平行线所截，如果在一条直线截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。 如果两条直线被一组截线各截出相等的线段，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。（注意不是1°的逆定理） （2）角平行截割定理：角的两边被平行线所截，如果在一边截得的线段相等，那么在另一边截得的线段也相等。 角平行截割定理逆定理：角的两边被一组截线各截出相等的线段，那么全组截线都是互相平行的。 （3）关于比例的平行截割定理： 1°两条直线被一条平行于第三边的直线所截，截得的线段必成比例。 2°如果两条直线被一组截线截出的线段成比例，而且这组截线中有两条平行，那么全组截线都是互相平行的。 3°三角形的两边被一组平行线所截，截得的线段必成比例。 4°逆定理：如果三角形的两边被一条直线截得的线段成比例，那么这条直线平行于第三边。 （4）中位线定理 1°三角形任一中位线平行于第三边且等于该边的一半。 2°梯形的中位线平行于底边且等于两底和的一半。 五 图形 （一）三角形 1 外角定理：三角形的每个外角大于任一内对角。 2 等腰三角形：四线合一 3 三角形不等定理： （1）大边对大角，大角对大边 （2）三角形中，任一边小于其它两边之和而大于它们的差。 推论：对于任意三点A、B、C，总有 ∣AB-AC∣≤BC≤AB+AC （3）若两个三角形彼此有两边对应相等，则 1°夹角大的，对边较大 2°第三边大的，对角较大 4 五心 （1）外心：三边中垂线之交点，也是外接圆之圆心 （2）重心：三边中线之交点 （3）垂心：三边高线之交点（与三顶点构成垂心组） （4）内心：三内角平分线之交点，也是内切圆之圆心 （5）旁心：一内角与另外两内角之外角的三条角平分线之交点，共有3点，也是旁切圆之圆心 5 内、外角平分线定理：设三角形某角及其外角的平分线同对边及其延长线相交，则交点分别内分及外分对边，所得分比等于两邻边之比。（逆定理存在） 6 正三角形：PA≤PB+PC，当P位于其外接圆中A点所对的弧BC时取等号。 （二）平行四边形 1 定义：两双对边各互相平行的四边形。 2 性质定理： 1°两双对边各相等 2°两双对角各相等 3°两对角线各互相平分 3 判定定理：四边形若具有下列条件之一，则必是平行四边形 1°两双对边各相等 2°两双对角各相等 3°两对角线各互相平分 4°一双对边平行且相等 4 矩形：等角的平行四边形（两对角线相等，对边中点的连线为对称轴） 菱形：等边的平行四边形（两对角线互相平分，且对角线为对称轴） 正方形：既是矩形又是菱形的四边形（4条对称轴） （三）梯形 1 定义：有一双对边平行的四边形。 2 等腰梯形：两腰相等，两底角相等，对角线相等，以两底中点的连线为对称轴。 （四）多边形 1 内角和：（n-2）*180°,外角和：360° 2 正多边形：每条边、每个角都相等的多边形 （五） 圆 1 对称性：以圆心为对称中心，以任一条直径为对称轴。 2 不等定理：弧、弦、圆心角、弦心距 l=Rθ=(n\180)*2πR 3 切线定理 （1）圆的切线垂直于过切点的半径 （2）经过圆半径外端且垂直于这条半径的直线，是圆的切线 （3）自圆外一点向圆所引的两切线等长，且自该点至圆心所引的射线平分该点对圆的视角 （4）公切线定理：两圆的两条外公切线等长，两条内公切线也等长 （5）两圆相切定理： 1°相切两圆的切点在连心线上，反之，两圆过连心线上同一点必然相切 2°两圆外切的充要条件是OO′= R+R′，内切的充要条件是OO′= ∣R-R′∣ 4 圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角 （在一圆中，同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半） 弦切角：一边和圆相交，另一边和圆相切于顶点的角 （圆的弦切角等于它包含的弧所对的圆周角） 圆内角：顶点在圆内的角 （圆的圆内角，等于它本身及其对顶角包含的弧所对的圆周角之和） 圆外角：顶点在圆外而两边和圆均有公共点的角 （圆的圆外角，等于它包含的两弧所对的圆周角之差） 总结：1°同弧所对的：圆内角>圆周角=弦切角>圆外角 2°如果一个角的两边和圆均有公共点而且等于圆周角，那么此角的顶点一定在圆上。 5 圆内接四边形：对角互补。（逆定理存在） 圆外切四边形：对边和相等。（逆定理存在） 6 圆幂定理：已知一圆O，通过一点P任作一割线交圆于A、B，则 p=PA*PB=∣PO2-R2∣,令p′= PO2-R2,这个p′值，叫做P点对于圆O的幂。具体的说，点在圆外幂为正，点在圆内幂为负，点在圆上幂为0 7 四点共圆的判断： （1）对角互补的四边形 （2）两点对一线段等视角 （3）圆幂定理：PA*PB=PC*PD 六 相似三角形 1 基本定理：平行于三角形的一边而且和其它两边相交的直线，截得的三角形和原三角形相似。 2 判定定理：两个三角形若具有下列条件之一，则它们必是相似的： （1）两双对应角各相等（a.a） （2）一双对应角相等且其夹边成比例(a.s.a) （3）三双对应边成比例(s.s.s) （4）两双对应边成比例且其中大边的对角相等(S.s.a) 3 相似三角形任一双对应线段（如对应的高、中线、角平分线等）的比都等于相似比。 七 面积 S（平行四边形）=ah=absinα S（矩形）=ab S（菱形）= ah=absinα= (1/2)l1l2 S（正方形）=a2= (1/2)l2 S（三角形）=(1/2)ah=(1/2)absinC S（圆）=πR2 S（扇形）=(n/360) πR2=(1/2)θR 2 S（弓形）=(1/2)R 2（απ/180-sinα） 贝利契纳德公式：S(四边形)= (1/4)[4e2f2-(a2-b2+c2-d2)2]1/2 卜拉美古嗒公式：S(圆内接四边形)= [(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] 1/2 (s为半周) 海伦公式：S(三角形)= [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2 八 基本轨迹： 1 距离两个已知点等远的点的轨迹，是这两点间所连线段的中垂线。 2 在已知角内和两边等距的点的轨迹，是这个角的平分线。 3 同两条平行的已知直线等距的点的轨迹是一条直线，它和这两条已知直线平行，且同它们等距。 4 到一条已知直线距离为定长的点的轨迹，是在已知直线两侧并和它平行的一双直线，其中每一条到已知直线的距离都等于定长。 5 到一个定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的一个圆。 6 对于一定线段的视角等于定角的点的轨迹，是以定线段为弦的一双弓形弧。 7 对于一定线段的视角等于直角的点的轨迹，是以定线段为直径的一个圆。 九 特别概念 1 欧拉线：三角形的外心、重心、垂心共线 （重心到一边之距离等于对顶点到垂心距离之一半） 2 牛顿线：完全四边形三条对角线的中点共线 3 密克点：完全四边形各边交成四个三角形，它们的外接圆共点。 4 西摩松线： （1）某点在三角形三边或其延长线上的正射影共线的充要条件是某点在三角形的外接圆上。三正射影所在的直线叫做叫做某点对于三角形的西摩松线。 （2）完全四边形的密克点在四边上的正射影共线。这直线叫做完全四边形的西摩松线。既然都喜欢数学 就一起加油